Birch-Murnaghani võrrandi lähenduse tuletamine

Vaatleme võrrandit:

[math] E(V) = E_0 + \frac{9 V_0 B_0 }{16} \left\{ \left[ \left(\frac{V_0}{V}\right)^{\frac{2}{3}} -1 \right]^3 B_0^' + \left[ \left( \frac{V_0}{V}\right)^{\frac{2}{3}} -1 \right]^2 \left[ 6 - 4 \left( \frac{V_0}{V} \right)^{\frac{2}{3}} \right] \right\} \;\; (1) [/math]

Gruppeerides võrrandis (1) liikmed [math] \frac{V_0}{V}[/math] astmete järgi saame järgmise võrrandi:

[math] E(V) = a + b \cdot \left(\frac{V_0}{V}\right)^2 + c \cdot \left(\frac{V_0}{V}\right)^\frac{4}{3} + d \cdot \left(\frac{V_0}{V}\right)^\frac{2}{3} \;\; (2) \;\; , kus [/math]

[math]a = E_0 + \frac{9}{16} \cdot V_0 \cdot B_0 \cdot ( 6 - B_0^') \;\;(3)[/math]

[math]b = \frac{9}{16} \cdot V_0 \cdot B_0 \cdot (B_0^' - 4) \;\;(4)[/math]

[math]c = \frac{9}{16} \cdot V_0 \cdot B_0 \cdot (14 - 3 B_0^') \;\;(5)[/math]

[math]d = \frac{9}{16} \cdot V_0 \cdot B_0 \cdot (3 B_0^' - 16) \;\;(6)[/math]

Teeme muutuja vahetuse [math] \alpha = \frac{V_0}{V} [/math] ning võrrand (2) omandab järgneva kuju:

[math] E(\alpha) = a + b \cdot \alpha^2 + c \cdot \alpha^\frac{4}{3} + d \cdot \alpha^\frac{2}{3} \;\; (7)[/math]

Teeme lisaks veel ühemuutuja vahetuse [math]\alpha = \epsilon + 1 [/math] ning arendame saadud võrrandit ritta [math]\epsilon=0[/math] ümbruses.

[math] A^' + B^' \cdot \epsilon + C^' \cdot \epsilon^2 \;\;(8)\;\;, kus [/math]

[math] A^' = a + b + c + d \frac{}{} \;\; (9)[/math]

[math]B^' = 2 b + \frac{4}{3} c + \frac{2}{3} d \;\; (10)[/math]

[math]C^' = b + \frac{2}{9} c - \frac{1}{9} d \;\; (11)[/math]

Minnes nüüd tagasi vanadele muutujatele E(V) omandab võrrand järgmise kuju:

[math] E(V) = a_1 + a_2 \cdot V^{-1} + a_3 \cdot V^{-2} \;\;(12)\;\; , kus[/math]

[math] a_1 = E_0 + \frac{1}{2} V_0 \cdot B_0 \;\;(13)[/math]

[math] a_2 = - V_0^2 \cdot B_0 \;\;(14)[/math]

[math] a_3 = \frac{1}{2} V_0^3 \cdot B_0 \;\; (15)[/math]

Leides nüüd kordajad [math]a_1,a_2,a_3[/math] graafiku sobitamise teel, on võimalik viimase kolme võrrandi abil leida suurused [math]E_0, V_0, B_0 [/math]. Samuti võib leida [math] E_0, V_0[/math] arvestades asjaolu, et võrrandi (12) miinimum asub punktis [math] V = V_0[/math] ning funktsiooni enda väärtus selles punktis on [math] E(V_0) = E_0[/math]. Siit sain mina järgmised seosed suuruste [math]E_0,V_0,B_0[/math] ning [math] a_1,a_2,a_3[/math].

[math] V_0 = - \frac{2 \cdot a_3}{a_2} \;\; (16)[/math]

[math] E_0 = a_1 - \frac{1}{4} \cdot \frac{a_2 ^2}{a_3} \;\; (17) [/math]

[math] B_0 = - \frac{1}{4} \cdot \frac{a_2^3}{a_3^2} \;\; (18)[/math]

Märkus: Võrrandsüsteemi (13),(14) ja (15) lahendamisel on lahenditeks täpselt samasugused seosed.